Identidades Trigonométricas: 10 Ejercicios Resueltos paso a paso

Identidades Trigonométricas

Presentamos una colección de «10 Ejercicios de Identidades Trigonométricas», problemas ideales para estudiantes de Secundaria y aquellos que se preparan para ingresar a la universidad.

Aquí aprenderás aplicar las principales identidades trigonométricas en los problemas. Todos los ejercicios han sido seleccionados y clasificados por nivel de dificultad, desde lo básico hasta ejercicios de nivel avanzado, pues requieren de un mayor análisis y conocimiento teórico para su resolución.

Estamos seguros que este sencillo trabajo será de gran utilidad en su reforzamiento sobre este importante tema de la trigonometría.

¡Verás lo fácil que es!

Ejercicios de Identidades Trigonométricas

Ejercicio 01:

Reducir:

Resolución:

Resolviendo:

Ejercicio 02:

Simplificar la siguiente expresión:

Resolución:

Llevando a seno y coseno la expresión P:

Ejercicio 03:

Reducir:

M = (cscθ + cotθ)(secθ – 1)

Resolución:

Aplicando la ley distributiva en la multiplicación de factores::

Tenemos:

M = cscθ . secθ – cscθ + cotθ.secθ – cotθ

Resolviendo:

Aplicando la Identidad Trigonométrica Especial:

cscθ . secθ = tanθ + cotθ

Reemplazando:

M = tanθ + cotθ – cotθ

∴ M = tanθ

Ejercicio 04:

Reducir:

Resolución:

Multiplicando en aspa, tenemos:

∴ E = 0

Ejercicio 05:

Demostrar la siguiente identidad:

sen⁴x + cos⁴x =  1 – 2sen²x.cos²x

Resolución:

Tomar atención a la siguiente recomendación:

Para demostrar la igualdad entres dos expresiones trigonométricas, se debe tomar uno de las expresiones, por lo general el que aparenta ser el más complejo. Luego, expresarlo en SENO y COSENO y desarrollarlo hasta conseguir la otra expresión de la igualdad.

Recordar la Identidad Pitagórica:

sen²x + cos²x = 1

Para demostrar esta igualdad, tomamos el primer miembro y lo desarrollamos:

Ejercicio 06:

Simplificar:

Resolución:

Sabemos que:

sen²x = 1 – cos²x = (1-cosx)(1+cosx)

⇒  senx/(1+cosx) = (1-cosx)/senx

En el problema:

Por lo tanto:

K = 2

Ejercicio 07:

Calcular:

P = 15Cotθ + 17Cosθ

Si: Tanθ + Secθ = 4

Resolución:

Para resolver este problema, realizaremos alguno artificios partiendo de las identidades conocidas.

Sabemos que:

Sec²θ = 1 + Tan²θ

Dando forma:

Sec²θ – Tan²θ = 1

(Secθ + Tanθ)(Secθ – Tanθ) = 1   …..(ε)

Conocemos por dato que:

Secθ + Tanθ = 4   ……(1)

Reemplazando en (ε):

⇒ Secθ – Tanθ = 1/4  …..(2)

De (1) y (2):

• Secθ = 17/8    ⇒ Cosθ = 8/17
• Tanθ = 15/8    ⇒ Cotθ = 8/15

Reemplazando en lo que nos piden:

P = 15(8/15) + 17(8/17)

⇒ P = 8 + 8

∴ P = 16

Ejercicio 08:

Sea θ un ángulo agudo, además: secθ – tanθ = 1/4.

Calcular:

T = 17(senθ + cosθ)

Resolución:

Se recuerda al ejercicio anterior, pues sí. Son parecidos y vamos aprovecharlo.

Por dato:

secθ – tanθ = 1/4

⇒  secθ + tanθ = 1/4

⇒ secθ = 17/8

Graficando:

El valor de 15 sale aplicando el teorema de pitágoras.

Resolviendo «T»:

T = 17(15/17 +  8/17)

⇒ T = 17(23/17)

∴ T = 23

Ejercicio 09:

Simplificar la siguiente expresión:

Resolución:

Descomponiendo y resolviendo:

Observe ahora como vamos a simplificar el numerador y denominador:

∴ M = 2

Ejercicio 10:

Si: 

sen²x = sen²θ + cos⁴θ

Calcular:

P = sec²θ + csc²θ

En términos de x.

Resolución:

Este es otro tipo de ejercicios de identidades trigonométricas que usted debe saber resolver, note como se hace:

sen²x = 1 – cos²θ + cos⁴θ

⇒ cos²θ – cos⁴θ = 1 – sen²x

cos²θ(1 – cos²θ) = cos²x

cos²θ(sen²θ) = cos²x

Inviertiendo ambos mienbros:

⇒ sec²θ.csc²θ = sec²x  

Aquí utilizaremos la siguiente identidad:

sec²θ.csc²θ = sec²θ + csc²θ

Reemplanzando:

sec²θ + csc²θ = sec²x = P

∴ P = sec²x