Identidades Trigonométricas: 10 Ejercicios Resueltos paso a paso

Identidades Trigonométricas

Presentamos una colección de «10 Ejercicios de Identidades Trigonométricas», problemas ideales para estudiantes de Secundaria y aquellos que se preparan para ingresar a la universidad.

Aquí aprenderás aplicar las principales identidades trigonométricas en los problemas. Todos los ejercicios han sido seleccionados y clasificados por nivel de dificultad, desde lo básico hasta ejercicios de nivel avanzado, pues requieren de un mayor análisis y conocimiento teórico para su resolución.

Estamos seguros que este sencillo trabajo será de gran utilidad en su reforzamiento sobre este importante tema de la trigonometría.

¡Verás lo fácil que es!


Ejercicios de Identidades Trigonométricas


Ejercicio 01:

Reducir:

ejercicio 01

Resolución:

Resolviendo:

Resolución ejercicio 01


Ejercicio 02:

Simplificar la siguiente expresión:

Ejercicio 02 de identidades

Resolución:

Llevando a seno y coseno la expresión P:

Resolución ejercicio 02 de Identidades Trigonométricas


Ejercicio 03:

Reducir:

M = (cscθ + cotθ)(secθ – 1)

Resolución:

Aplicando la ley distributiva en la multiplicación de factores::

Resolución ejercicio 01

Tenemos:

M = cscθ . secθ – cscθ + cotθ.secθ – cotθ

Resolviendo:

Resolución ejercicio 01

Aplicando la Identidad Trigonométrica Especial:

cscθ . secθ = tanθ + cotθ

Reemplazando:

M = tanθ + cotθ – cotθ

∴ M = tanθ


Ejercicio 04:

Reducir:

Problema 04 de Identidades

Resolución:

Multiplicando en aspa, tenemos:

Resolución problema 4

∴ E = 0


Ejercicio 05:

Demostrar la siguiente identidad:

sen4x + cos4x =  1 – 2sen2x.cos2x

Resolución:

Tomar atención a la siguiente recomendación:

ProfesorPara demostrar la igualdad entres dos expresiones trigonométricas, se debe tomar uno de las expresiones, por lo general el que aparenta ser el más complejo. Luego, expresarlo en SENO y COSENO y desarrollarlo hasta conseguir la otra expresión de la igualdad.

Recordar la Identidad Pitagórica:

sen²x + cos²x = 1

 

Para demostrar esta igualdad, tomamos el primer miembro y lo desarrollamos:

Ejercicio resuelto de identidades trigonométricas


Ejercicio 06:

Simplificar:

Ejercicio #05

Resolución:

Sabemos que:

sen²x = 1 – cos²x = (1-cosx)(1+cosx)

⇒  senx/(1+cosx) = (1-cosx)/senx

En el problema:

resolución ejercicio 05

Por lo tanto:

K = 2


Ejercicio 07:

Calcular:

P = 15Cotθ + 17Cosθ

Si: Tanθ + Secθ = 4

Resolución:

Para resolver este problema, realizaremos alguno artificios partiendo de las identidades conocidas.

Sabemos que:

Sec²θ = 1 + Tan²θ

Dando forma:

Sec²θ – Tan²θ = 1

(Secθ + Tanθ)(Secθ – Tanθ) = 1   …..(ε)

Conocemos por dato que:

Secθ + Tanθ = 4   ……(1)

Reemplazando en (ε):

⇒ Secθ – Tanθ = 1/4  …..(2)

De (1) y (2):

  • Secθ = 17/8    ⇒ Cosθ = 8/17
  • Tanθ = 15/8    ⇒ Cotθ = 8/15

Reemplazando en lo que nos piden:

P = 15(8/15) + 17(8/17)

⇒ P = 8 + 8

∴ P = 16


Ejercicio 08:

Sea θ un ángulo agudo, además: secθ – tanθ = 1/4.

Calcular:

T = 17(senθ + cosθ)

Resolución:

Se recuerda al ejercicio anterior, pues sí. Son parecidos y vamos aprovecharlo.

Por dato:

secθ – tanθ = 1/4

⇒  secθ + tanθ = 1/4

⇒ secθ = 17/8

Graficando:

Triangulo pitágorico

El valor de 15 sale aplicando el teorema de pitágoras.

Resolviendo «T»:

T = 17(15/17 +  8/17)

⇒ T = 17(23/17)

∴ T = 23


Ejercicio 09:

Simplificar la siguiente expresión:

Problema 09

Resolución:

Descomponiendo y resolviendo:

Resolución de indentidades trigonométricas

Observe ahora como vamos a simplificar el numerador y denominador:

Resolución Ejercicio 09

∴ M = 2


Ejercicio 10:

Si: 

sen²x = sen²θ + cos4θ

Calcular:

P = sec²θ + csc²θ

En términos de x.

Resolución:

Este es otro tipo de ejercicios de identidades trigonométricas que usted debe saber resolver, note como se hace:

sen²x = 1 – cos²θ + cos4θ

⇒ cos²θ – cos4θ = 1 – sen²x

cos²θ(1 – cos²θ) = cos²x

cos²θ(sen²θ) = cos²x

Inviertiendo ambos mienbros:

⇒ sec²θ.csc²θ = sec²x  

Aquí utilizaremos la siguiente identidad:

sec²θ.csc²θ = sec²θ + csc²θ

Reemplanzando:

sec²θ + csc²θ = sec²x = P

∴ P = sec²x


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11 comentarios en “Identidades Trigonométricas: 10 Ejercicios Resueltos paso a paso”

  1. Estoy contento de leer este blog que contiene un montón de información útil, gracias por proporcionarnos esta información.

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