Triángulo Equilátero: Ejercicios de cálculo de Altura, Perímetro y Área

Triángulo Equilátero

El triángulo equilátero se caracteriza por tener los tres lados de igual longitud, en consecuencia, sus ángulos internos serán de igual medida (60° cada uno).

Observe cómo es el triángulo equilátero.

Triángulo Equilátero
Figura de un Triángulo Equilátero

Aquí te mostramos una colección de ejercicios resueltos del triángulo equilátero donde aprenderás a calcular la altura, el perímetro y área del triángulo equilátero con métodos sencillos.

También podrás encontrar problemas de triángulo equilátero donde se aplicarán teoremas y conceptos de triángulos para su resolución.


Ejercicios del Triángulo Equilátero


Ejercicio 01:

Si el lado de un triángulo equilátero ABC mide 2cm, calcular la altura de dicho triángulo.

Resolución:

Para resolver este ejercicio debemos recordar que la altura de triángulo equilátero debe ser igual en longitud, al trazarse desde cualquier vértice. Por ello, trazamos la altura BH tal como se muestra en la siguiente figura:

altura del triángulo equilátero

BH = h (valor que se pide calcular)

También, la altura de un triángulo equilátero es  mediana (línea notable). Al trazarse la altura BH tenemos:

⇒ AH= HC = 1cm

ΔBHC: Aplicamos el teorema de Pitágoras:

h2 = 22 – 12

⇒ h = √3cm

∴ La altura del triángulo equilátero dado es √3cm.

Este problema pudo resolverse también por fórmula, el cual indica que la altura de un triángulo equilátero esta en función del lado del mismo, observe:

Fórmula para hallar la altura de un triángulo

En este caso, sería cuestión reemplazar a = 2cm  en la fórmula y el resultado nuevamente será √3cm.


Ejercicio 02:

Si el triángulo ABC es equilátero y L1 y L2 son paralelas. Calcular el valor de «x»

Ejercicios 02 de triángulo equilátero

Resolución:

En el triángulo equilátero, el ∠C = 60°. Entonces tenemos el siguiente gráfico.

Resolución del ejercicio 02

Luego de trasladar los ángulos por el vértice opuesto y aprovechando las paralelas, podemos aplicar la siguiente propiedad:

2x + 4x = 60°
⇒ 6x = 60°

∴ x = 10°


Ejercicio 03:

Si la altura de un triángulo equilátero es 2√3cm, calcule el perímetro y el área de dicho triángulo.

Resolución:

Graficamos el triángulo equilátero ABC de altura «h» y lado «a» tal como se muestra en la siguiente figura:

El triángulo equilátero

a. Cálculo del perímetro:

El perímetro del triángulo equilátero sería la longitud de su lado multiplicado por tres; es decir:

Perímetro  = 3a …(1)

Calculemos el lado del triángulo equilátero a partir de la fórmula vista en el ejercicio 01.

Resolución Problema 3

Reemplazando en (1):

∴ Perímetro del ΔABC = 3(4) =12cm

b. Cálculo del área:

El área de la región del triángulo equilátero es:

Área =  (Base x Altura)/2

Donde:

Base: a = 4cm (recuerde que la base es el lado del triángulo equilátero)

Altura: h = 2√3cm.

Reemplazando, tenemos:

Área =  (4 x 2√3)/2

∴ Área del ΔABC = 4√3cm2


Ejercicio 04:

En la región interior de un triángulo equilátero ABC se ubica un punto P, tal que la mínima distancia de dicho punto a los lados son 1cm, 2cm y 3cm respectivamente. Se pide calcular la altura del triángulo equilátero.

Resolución:

Debemos tener en cuenta, que la mínima distancia de un punto a un segmento de recta es la perpendicular. Con ello, veamos el siguiente gráfico.

área de un triángulo equilátero

Nos piden calcular «h»: altura del triángulo equilátero.

Esta resolución se realizará por áreas de regiones planas, aprovechando que tenemos tres lados iguales del triángulo equilátero. Observamos:

Aréa(ΔABC) = Área(ΔAPC) + Área(ΔAPB) + Área(ΔBPC) 

Reemplazando y operando:

suma de área de triángulos

∴ h = 6cm


Ejercicio 05:

En un triángulo ABC se traza la ceviana BR, en cuya prolongación se ubica el punto «D»; tal que: DA = AB = BC y m∠DCR = 30°. Calcular la m∠ADR.

Resolución:

Sea la m∠ADR = x; bosquejamos el gráfico según el enunciado:

Para resolver este ejercicio ha sido necesario realizar trazos auxiliares (como puede apreciar), ello nos ayudará a obtener dos triángulos congruentes, veamos:

ΔABC: Triángulo Isósceles, entonces trazamos la altura BP, tal que:

AP = PC = a

Prolongamos CD y trazamos la perpendicular desde el vértice «A» hacía esta, formándose el punto «T». Vemos que el triángulo Rectángulo ATC es notable de 30° y 60°, por lo cual: AT = a

 ΔATD ≅ ABP

⇒ m∠TAD = m∠BAP

En el ΔATC: α + Ө = 60°

Observe  el ΔBAD, es un triángulo isósceles pero la m∠BAD = α + Ө = 60°; por lo que este triángulo pasa a ser equilátero.

∴ x = 60°


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17 comentarios en “Triángulo Equilátero: Ejercicios de cálculo de Altura, Perímetro y Área”

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