Triángulos
Los «10 Problemas de Triángulos de Nivel Básico» están resueltos paso a paso y son ideales para estudiantes que recién inician el estudio de este fascinante tema de Geometría Plana.
No se requiere tener amplios conocimientos en Geometría para resolver los ejercicios de triángulos; sin embargo, se recomienda repasar la teoría de triángulos para solucionar los problemas que aquí se presentan.
Cada Problema ha sido seleccionado para aplicar diversos teoremas o propiedades fundamentales del triángulo; también verá problemas de líneas notables y de clases de triángulos.
Estamos seguros que este trabajo será de su agrado y desde ya el compromiso para seguir publicando contenidos de calidad. ¡Diviértase!
Ejercicios de Triángulos
Nivel Básico
Ejercicio 01:
Calcular «x»
Resolución:
En el triángulo ABC vemos dos ángulos externos conocidos, entonces podemos conocer el ángulo externo del ángulo «B».
Por propiedad de suma de ángulos externos:
130° + 145° + α = 360°
⇒ α = 85°
En «B»:
⇒ x + 85° = 180°
∴ x = 95°
Ejercicio 02:
En la figura se cumple: AD = DC = BD. Calcular «θ»
Resolución:
Del dato, representamos la igualdad de lados en la siguiente figura:
Si BD = DC entonces el ΔBDC es isósceles; además el ángulo externo «D» sería 2θ por propiedad de suma de ángulos internos.
En el ΔABD se completa ángulos teniendo un triángulo equilátero.
⇒ 2θ + 2θ + 2θ = 180°
∴ θ = 30°
Ejercicio 03:
De la figura, calcular «x»
Resolución:
En el triángulo ABC, aplicamos la propiedad de suma de ángulos internos:
3α + 3θ + 50° = 180°
⇒ α + θ = 43.3° …..(1)
En esta figura (bumeran) aplicamos propiedad:
x = 50° + α + θ …..(2)
Reemplazando (1) en (2):
∴ x = 93.3°
Ejercicio 04:
Calcular «x», si BH es altura.
Resolución:
Vemos que BH es altura y divide al triángulo ABC en dos triángulos rectángulos. Analizamos cada uno:
Δ ABH:
2θ + 40° = 90°
⇒ θ = 25°
Δ BHC:
⇒ x + θ = 90° ⇒ x = 90° – 25°
∴ x = 65°
Ejercicio 05:
Dos lados de un triángulo miden 8cm y 12cm. Calcula el menor y mayor valor entero que puede tomar el tercer lado.
Resolución:
En este problema aplicaremos la propiedad de existencia de triángulo.
En el triángulo ABC, sea «x» el tercer lado.
⇒ 12 – 8 < x < 12 + 8
⇒ 4 < x < 20
Luego, el menor valor entero de «x» es 5cm y el mayor valor entero es 19cm.
Ejercicio 06:
En la figura, m∠ABC = m∠ACN y MC = NC. ¿Qué línea notables es AM en el triángulo ABC?
Resolución:
Completando y trasladando ángulos tenemos la siguiente figura:
Analizamos dos triángulos:
Δ ABM: el ∠BAM es el suplemento de la suma de los ángulos: α + θ
Δ ANC: el ∠NAC es el suplemento de la suma de los ángulos: α + θ
⇒ ∠BAM ≅ ∠NAC
∴ AM es Bisectriz Interior del ΔABC
Ejercicio 07:
En un triángulo ABC las bisectrices interior del ángulo A y exterior del ángulo C se cortan en P. Si los ángulos ABC y APC son complementarios, calcular m ∠APC.
Resolución:
Bosquejando el dibujo del enunciado:
Nos piden m ∠APC: θ
Dato:
α + θ = 90° ….(1)
Observe que el ángulo θ, es formado por dos bisectrices (interior y exterior al triángulo ABC). Aquí se cumple la siguiente propiedad:
θ = α/2 ….(2)
Finalmente, (2) en (1):
⇒ 2θ + θ = 90°
⇒3θ = 90°
∴ θ = 30°
Ejercicio 08:
Calcular «x»
Resolución:
Este problema se soluciona rápidamente mediante la siguiente propiedad:
En el problema:
2x + 3x = 50° + 40°
⇒ 5x = 90°
∴ x = 18°
Ejercicio 09:
De la figura, calcule «x»
Resolución:
En este ejercicio necesitamos realizar trazos auxiliares necesarios. La idea es buscar el ángulo que forman las bisectrices exteriores de «A» y «C» del triángulo ABC y aplicar una propiedad bien conocida donde involucra al ángulo «x» con dicho ángulo de las bisectrices.
Observe el gráfico:
Se prolonga AD y CE intersectándose en el punto «P». Luego, se forma el triángulo DEP.
ΔDEC: Aplicamos propiedad fundamental del triángulo:
55° + 45° + θ = 180°
⇒ θ = 80° ….(1)
Aplicando propiedad en el triángulo ABC:
θ = 90° – x/2 ….(2)
Reemplazando (1) en (2):
∴ x = 20°
Ejercicio 10:
Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. Se traza la altura BH y la bisectriz del ángulo HBC, que corta a AC en P. Si: AB = 7cm y PC = 8cm, calcula AC.
Resolución:
Graficando el ejercicio y completando ángulos tenemos:
Nos piden AC: «x»
El triángulo ABP es isósceles:
⇒ AP = 7cm
Luego:
AC = AP + PC
⇒ x = 7 + 8 = 15cm
∴ x = 15cm
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Revisión
Ejercicios de Triángulos - Nivel Básico
Los Problemas han sido seleccionados para estudiantes de primaria y secundaria que inician el estudio de triángulos. Aquí hemos enseñado a aplicar las propiedades, realizar trazos auxiliares e identificar las líneas notables del triángulo.
Calificación
- Calidad de Ejercicios
- Calidad de Gráficos/Diseño
- Resolución Paso a Paso