Triángulos: Ejercicios Resueltos [Nivel Avanzado]

Triángulos

Esta gran colección de Ejercicios Resueltos de Triángulos de  Nivel Avanzado se ha realizado para aquellos lectores que necesiten desafiarse a sí mismo.

El Nivel presentado de los problemas requiere de un análisis exhaustivo, pues se necesita de mucho conocimiento teórico y práctico para las resoluciones.

Los ejercicios de triángulos son ideales para estudiantes que se preparan para concursos u olimpiadas matemáticas; así como aquellos que se preparan para ingresar a universidades exigentes.

Recomendamos que sea perseverante en cada ejercicio. No trate de visualizar la resolución a menos que lo haya intentado una y otra vez. ¡Éxitos!


Ejercicios de Triángulos [Nivel Avanzado]


Ejercicio 01:

En un triángulo isósceles, el perímetro de su región es mayor que tres veces la longitud de la base. Se pide calcular el menor valor entero de la medida del mayor ángulo interno.

Resolución:

Graficamos el triángulo isósceles como se muestra en la figura:

Ejercicio 01 Resolución

Sea el perímetro del triángulo: 2a + b

Por dato:

2a + b > 3b
⇒ a > b

También debe cumplirse:  Ó¨ > α  ….(1)

En el ΔABC:

α + 2Ө = 180°
⇒ α = 180° – 2Ө   ….(2)

Reemplazando (2) en (1):

Ó¨ > 180 – 2Ó¨
⇒ 3Ө > 180°

Finalmente: Ө > 60°

∴ El menor valor entero de Ө  = 61°


Ejercicio 02:

Exteriormente y relativo al lado AC de un triángulo equilátero ABC se toma el punto «P» tal que m∠CPA = 90°. Calcular PM, siendo «M» punto medio de BC, AB = 2cm y m∠CAP = 15°

Resolución:

Según el enunciado tenemos el siguiente gráfico:

Ejercicio 02 Resolución

 

Se ubica el punto medio del lado AC: «N»

ΔAPC:

PN es mediana
⇒ PN = 1cm

ΔABC:

MN es base(línea) media de AB
⇒ MN = 1cm

Completando ángulos m∠MNP = 90°

⇒ ΔMNP: Aplicamos el teorema de pitágoras.

∴ x  = √2cm


Ejercicio 03:

El triángulo mostrado es isósceles, AB = BC. Calcule «x».

Ejercicio 03

Resolución:

Buen ejercicio, donde pondremos a prueba los trazos auxiliares. Se prolonga AP hasta el punto «Q» tal que BQ = AB. Observe la figura:

Resolución ejercicio 03

Luego, completamos ángulos y damos que: m∠CBQ = 60°

⇒ El triángulo CBQ es Equilátero

En el ΔPQC: Después de completar ángulos demostramos que el triángulo es isósceles.

⇒ CQ = PQ = BQ

Por lo tanto, el triángulo BQP es también isósceles.

Luego:

x + 60°  = 70°

∴ x  = 10°


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1 comentario en “Triángulos: Ejercicios Resueltos [Nivel Avanzado]”

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