Teorema de Pitágoras: 5 Ejercicios Resueltos

Teorema de Pitágoras

Existe un teorema conocido por más de 3mil años y que aún, en la actualidad, lo seguimos utilizando debido a su importancia en las matemáticas, nos referimos al teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras indica que en un triángulo rectángulo se cumple que:

La suma al cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

En la siguiente figura queda mostrado cómo se aplica este teorema.

En el triángulo rectángulo de la figura los catetos son «a» y «b» y la hipotenusa «c». Entonces se cumple la fórmula de Pitágoras:

c² = a² + b²

Está formula utilizaremos cuando nos pidan hallar la hipotenusa o algún cateto conociendo los otros dos lados del triángulo rectángulo. Veamos algunos ejercicios para que quede claro cómo se aplica el teorema de Pitágoras.

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Ejercicios del Teorema de Pitágoras

Ejercicio 01:

Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 5cm y 12cm.

Resolución:

Sea «h» la hipotenusa.

Entonces aplicamos el teorema de Pitágoras:

h² = (5cm)² + (12cm)²

Resolviendo:

h² = 55cm² + 144cm²

⇒ h² = 169cm²

∴ h =13cm

Ejercicio 02:

En un triángulo rectángulo, la relación de catetos está de 3 a 4 y la hipotenusa mide 10cm. Se pide calcular la suma de catetos.

Resolución: 

Dibujemos lo que indica el problema:

Vea que a los catetos le hemos colocado 3k y 4k debido a a relación que nos dan por dato. Si hallamos el valor de «k» se acaba el ejercicio debido a que nos piden:

Suma de Catetos = 3k + 4k = 7k  …..(1)

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

(10cm)² = (3k)² + (4k)²

⇒ 100cm² = 9k² + 16k²

⇒ 25k² = 100cm² ⇒  k² = 4cm²

⇒ k = 2cm

Reemplazando en (1):

Suma de Catetos = 7(2cm) = 14cm

∴ Suma de Catetos = 14cm

Ejercicio 03:

En un triángulo equilátero se traza la altura cuya medida es 3√3u, calcular el perímetro de dicho triángulo.

Resolución:

Graficamos el siguiente triángulo equilátero de vértices A, B y C y Altura BH.

Note como hemos colocado los datos apropiadamente y al lado del triángulo equilátero le hemos dado «2a» con fines prácticos ya que al trazar BH se cumple: AH = HC = a

Nos piden:

Perímetro del Triángulo Equilátero = 2a + 2a + 2a = 6a —- (1)

Entonces en el ◣ AHB: Teorema de Pitágoras:

(2a)² = a² + (3√3)²

⇒ 4a² = a² + 27 ⇒ 3a² = 27

⇒ a = 3

Reemplazando en (1):

Perímetro del Triángulo Equilátero = 6(3) = 18u

∴ Perímetro del Triángulo Equilátero = 18u

Ejercicio 04:

Calcular la diagonal de un Hexaedro regular (cubo) si su arista mide 4cm.

Resolución:

Sea «d» la diagonal del hexaedro regular.  Veamos el planteamiento del problema en la siguiente figura:

En la figura se ha trazado la diagonal AD = d, recuerde que un Cubo tiene 4 diagonales congruentes.

En el ◣ABD (Color Amarillo): Aplicamos el teorema de Pitágoras:

d² = 4² + BD² —–(1)

Hallando BD en el ◣BCD (Color Rojo) : Aplicamos el teorema de Pitágoras:

BD² = 4² + 4² —–(2)

Reemplazando (2) en (1):

d² = 4² + (4² + 4²)

⇒ d² = 48

∴ d = 4√3cm

Propiedad:

Si la arista en un hexaedro regular mide «a» entonces su diagonal mide a√3. Tal cual lo hemos demostrado en este ejercicio.

Ejercicio 05:

En la siguiente figura «P» es punto de tangencia de la circunferencia, además PC = 3cm y AB = 2BC. Calcular el radio de la circunferencia.

Resolución:

Colocando los datos apropiadamente; además AB es diámetro.

⇒  AB = 2BC =2r  ⇒ BC = r

Cómo «P» es punto de tangencia, entonces trazamos OP = r; tal que OP es perpendicular a CP (por propiedad) formando el triángulo rectángulo OPC.

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

(2r)² = r² + 3²

Resolviendo:

⇒ 4 r² – r²  = 9

⇒ 3r²  = 9

⇒ r  = √3cm

∴ Radio de la Circunferencia = √3cm