Área de un Triángulo: Problemas Resueltos

Área de un Triángulo

El triángulo es un figura geométrica importante, dominar este tema requiere conocer teoría y fórmulas.

Todo estudiante debe conocer las fórmulas para calcular el área de un triángulo, las cuales por suerte no son muchas. Sólo con la práctica podrá enfrentarse con éxito a resolver ejercicios de áreas de triángulos.

Conociendo la debilidad que muchos estudiantes presentan en este tema, nos complace presentar una colección de «Problemas Áreas de Triángulos» todas con su respectiva resolución, explicados paso a paso.

En cada ejercicio podrá apreciar distintas formas de resolución de un problema y sobre todo sabrá cómo aplicar las fórmulas de triángulos adecuadamente. Como es de costumbre, los problemas van de menor a mayor grado de dificultad.

Póngase a prueba tratando de resolverlos antes de ver la resolución. ¡Éxitos!


Ejercicios de Áreas de Triángulos


Problema 01:

En la figura, calcular el área de la región sombreada si el área del triángulo ABC = 60u².

Problema propuesto

Resolución:

Para resolver este problema debemos tener presente una propiedad importante en el cálculo de áreas de un triángulo. El cual se trata de relacionar las áreas proporcionalmente con los lados de las bases, así:

Resolución del Problema 05

Sea el:

  • Área del triángulo ABM = X (Nos piden calcular)
  • Área del triángulo MBC = Y

En el problema, aplicamos la propiedad aprendida, tenemos que:

  • X = 5ku²
  • Y = 10ku²

Donde «k» es una constante. Por dato:

X +Y = 60u²

⇒ 5k + 10k = 60  ⇒ k = 4

Entonces decimos:

X = 5(4) = 20u²

∴ X = 20u²


Problema 02:

En un triángulo rectángulo ABC, se traza la ceviana interior AP tal que BP = 6 cm, AP = 10 cm y AC = 17 cm.
Calcula el área de la región triangular APC.

Resolución:

Bosquejando el enunciado, tenemos:

Resolución Problema de área 01

Nos piden el área del triángulo APC = S (área de la región sombreada)

Para ello, debemos encontrar el valor de la base PC y de la altura AB, para luego aplicar la fórmula:

S = [Base x Altura]/2 ….(ε)

En el triángulo rectángulo ABP, podemos calcular AB fácilmente por tratarse de un triángulo rectángulo notable (37° y 53°)

⇒ AB = 8cm

Sea PC = a, en el triángulo rectángulo ABC, aplicamos el teorema de pitágoras:

17² = 8² + (6+a)²

Resolviendo tenemos que:

a = PC = 9cm

Luego, reemplazamos en (ε):

S = (9)(8)/2 = 36cm²

∴ S = 36cm²


Problema 03:

Calcuar el área de la región sombreada, si 4BP = PC, AP = 3AM y además, el área de la región triangular ABC es 30m².

Problema área 005

Resolución:

Luego de haber resuelto el problema 01, éste se hará más fácil. Esté atento.

Sea: 2S el área de la región triangular que nos piden calcular. Colocando los datos adecuadamente, tenemos:

Resolución problema 03 de áreas

En el ΔABP: Relacionamos los triángulos parciales ΔABM y  ΔBMP con los lados AM y MP, tenemos que:

Área del ΔABM = S

Ahora, en el triángulo ABC, aprovechamos los datos en el lado BC, es decir: PC = 4BP con el mismo teorema que relaciona a los triángulos parciales:  ΔBAP y ΔPAC

⇒ Área del ΔABM = 12S

Por dato:

Área del ΔABC = 30m² = S + 2S + 12S

⇒ 15S = 30m²

⇒ S = 2m²

Nos pedían 2S:

∴ 2S = 4m²


Problema 04:

En la figura, el área del triángulo ABC es 75cm². Calcule el área de la región sombreada.

Problema 04 de áreas

Resolución:

Para resolver este problema se requiere conocer otras temas como las propiedades de la circunferencia y semejanza. Además de realizar un trazo auxiliar (vital para su resolución)

Sea «S» el área del triángulo a calcular. Observe en el gráfico que se trazó el segmento AN:

Resolución Problema 04

Este trazo se realizó para formar el triángulo rectángulo ANC, recto en «N» (propiedad de la circunferencia). También se formó el ΔANB (triángulo rectángulo notable de 37°) por lo que:

AB = 5k  y   BN = 4N

También se nota que el cuadrilátero AMNC es inscriptible, por lo que los ángulos «θ» aparecen de forma correcta.

Luego, se cumple:

ΔABC ∼  ΔNBM 

Aplicando propiedad de áreas en triángulos semejantes:

Ejercicio resuelto 04

Por dato:

SΔABC = 75cm²

Reemplazando:

S = 16(3) = 48

∴ S = 48cm²


Problema 05:

Calcular el área de la región sombreada, si CD = 5u y BP = 3.

Ejercicio 05


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