Binomio al Cubo: Fórmulas y Ejercicios Resueltos

Binomio al Cubo

Aquí aprenderemos las fórmulas del binomio al cubo y cómo aplicarlas en los ejercicios. El cual, cómo siempre resolvemos una serie de problemas que serán de tu agrado y de ejemplo para tomarlo en cuenta en otros ejercicios similares.

Fórmulas:

1. Suma de Binomio al Cubo:

(a + b)³ = a³  + 3a²b + 3ab²  + b³

2. Resta de Binomio al Cubo:

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

⩥ Para más detalles visite: Teoría del Binomio al Cubo

Estas dos fórmulas debemos aprender para solucionar cualquier ejercicio de este tipo. A continuación, le dejamos con problemas de binomio al cubo resueltos paso a paso. ¡Atento!

Ejercicios de Binomio al Cubo

Ejercicio 01

Si:

m.n = 7 ∧ m + n = 8

Calcular: m³ + n³

Resolución:

Por propiedad del binomio al cubo conocemos:

(m + n)³ = m³  + 3m²n + 3mn²  + n³

Esta expresión se puede reducir a:

(m + n)³ = m³  + 3mn(m + n) + n³

«Está sería la fórmula reducida de la suma binomio al cubo».

Dando forma a lo que nos piden:

m³ + n³ = (m + n)³ – 3mn(m + n)

Reemplanzado los valores del dato:

m³ + n³ = (8)³ – 3.7.8

⇒ m³ + n³ = 8(64 – 21)

∴ m³ + n³ = 344

Ejercicio 02

Si:

a + b = 3 ∧ a³ + b³ = 9

Calcular: a.b

Resolución:

Sea la expresión reducida de la suma del binomio al cubo:

(a + b)³ = a³  + b³  + 3ab(a + b)

Reemplazando valores de los datos:

(3)³ = 9  + 3ab(3)

Despejando a.b :

9ab = 18

∴ ab = 2

Ejercicio 03

Si:

a + b = 8 ∧ a² + b² = 20

Calcular: a³ + b³

Resolución:

Sabemos:

(a + b)³ = a³  + b³  + 3ab(a + b)

Despejando lo que nos piden tenemos:

 a³  + b³  = 3ab(a + b) – (a + b)³ …..(1)

Hallando a.b:

Sabemos que:

(a + b)² = a²  + b²  + 2ab

Pero: a + b = 8; a²  + b² = 20

(8)² = 20  + 2ab

⇒ ab = 22

Ahora reemplazando en (1):

a³  + b³  = 3(22)(8) – (8)³

∴ a³  + b³  = 16

Ejercicio 04

Calcular:

Si:

Resolución:

Para este problema elevamos al cubo el binomio, así:

Resolviendo y dando forma:

Ejercicio 05

Calcular: 

x³ – y³

Si:

x – y = 4 ∧ xy = 6

Resolución:

Elevando al cubo la diferencia de binomios, así:

(x – y)³ = (4)³

Resolviendo la diferencia de binomio al cubo y dando forma:

x³ – y³ – 3xy(x – y)= (4)³

x³ – y³ = 3xy(x – y) + (4)³

Reemplazando valores:

x³ – y³ = 3(6)(4) + (4)³ = 8

∴ x³ – y³ = 8