Binomio al Cubo
Aquí aprenderemos las fórmulas del binomio al cubo y cómo aplicarlas en los ejercicios. El cual, cómo siempre resolvemos una serie de problemas que serán de tu agrado y de ejemplo para tomarlo en cuenta en otros ejercicios similares.
Fórmulas:
1. Suma de Binomio al Cubo:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
2. Resta de Binomio al Cubo:
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
⩥ Para más detalles visite: Teoría del Binomio al Cubo
Estas dos fórmulas debemos aprender para solucionar cualquier ejercicio de este tipo. A continuación, le dejamos con problemas de binomio al cubo resueltos paso a paso. ¡Atento!
Ejercicios de Binomio al Cubo
Ejercicio 01
Si:
m.n = 7 ∧ m + n = 8
Calcular: m³ + n³
Resolución:
Por propiedad del binomio al cubo conocemos:
(m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3
Esta expresión se puede reducir a:
(m + n)3 = m3 + 3mn(m + n) + n3
«Está sería la fórmula reducida de la suma binomio al cubo».
Dando forma a lo que nos piden:
m3 + n³ = (m + n)³ – 3mn(m + n)
Reemplanzado los valores del dato:
m3 + n³ = (8)³ – 3.7.8
⇒ m3 + n³ = 8(64 – 21)
∴ m3 + n³ = 344
Ejercicio 02
Si:
a + b = 3 ∧ a³ + b³ = 9
Calcular: a.b
Resolución:
Sea la expresión reducida de la suma del binomio al cubo:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Reemplazando valores de los datos:
(3)3 = 9 + 3ab(3)
Despejando a.b :
9ab = 18
∴ ab = 2
Ejercicio 03
Si:
a + b = 8 ∧ a² + b² = 20
Calcular: a³ + b³
Resolución:
Sabemos:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Despejando lo que nos piden tenemos:
a3 + b3 = 3ab(a + b) – (a + b)³ …..(1)
Hallando a.b:
Sabemos que:
(a + b)² = a² + b² + 2ab
Pero: a + b = 8; a² + b² = 20
(8)² = 20 + 2ab
⇒ ab = 22
Ahora reemplazando en (1):
a3 + b3 = 3(22)(8) – (8)³
∴ a3 + b3 = 16
Ejercicio 04
Calcular:
Si:
Resolución:
Para este problema elevamos al cubo el binomio, así:
Resolviendo y dando forma:
Ejercicio 05
Calcular:
x³ – y³
Si:
x – y = 4 ∧ xy = 6
Resolución:
Elevando al cubo la diferencia de binomios, así:
(x – y)³ = (4)³
Resolviendo la diferencia de binomio al cubo y dando forma:
x³ – y³ – 3xy(x – y)= (4)³
x³ – y³ = 3xy(x – y) + (4)³
Reemplazando valores:
x³ – y³ = 3(6)(4) + (4)³ = 8
Muy buen aporte, muy recomendable! Un cordial saludo.