20 Ecuaciones Resueltas: Ecuaciones de 1°, 2° y 3°

Ecuaciones Resueltas

Presentamos «20 Ejercicios de Ecuaciones Resueltas», donde aprenderás a resolver ecuaciones de primer grado, de segundo grado y de tercer grado de forma sencilla, paso a paso y por métodos prácticos.

Los ejercicios de ecuaciones han sido elegidos cuidadosamente para tener diferentes resoluciones y pueden tomarse como ejemplos en situaciones similares. También están clasificados por niveles de dificultad: Básico, Intermedio y Avanzado.

Recuerde que las ecuaciones son herramientas importantes de las matemáticas, por lo que se recomienda practicarlas para que adquiriera la habilidad de resolverlas usted mismo y de forma correcta.

¡Disfrute los ejercicios de ecuaciones!

Ejercicios de Ecuaciones

Nivel Básico

Ejercicio 01:

Resolver la siguiente ecuación:

3x + 8 = 2x – 4 – 3(x -1)

Resolución:

Tenemos una ecuación lineal de una sola variable:

Eliminando el paréntesis por la propiedad distributiva:

3x + 8 = 2x – 4 – 3x + 3

Pasando los términos que contienen a la incógnita (x) hacia el 1er miembro y los demás términos al 2do miembro:

⇒ 3x -2x + 3x = -4 + 3 – 8

⇒ 4x = -9    ⇒  x = -9/4

∴ Conjunto Solución: {-9/4}

Ejercicio 02:

Resolver:

2(3x + 7) = 5(x – 3)

Resolución:

Eliminamos los paréntesis utilizando la propiedad distributiva:

2.3x + 2.7 = 5x – 5.3

⇒ 6x + 14 = 5x -15

⇒ 6x – 5x = -15 – 14

⇒ x = -29

∴ Conjunto Solución: {-29}

Ejercicio 03:

Tengo $1700 en billetes billetes de $50 y $100. El número de billetes de $50 excede en 4 al número de billetes de $100. ¿Cuánto de dinero hacen los billetes de $100?

Resolución:

Este ejercicio de planteo de ecuaciones, lo realizaremos así:

Sea la cantidad de billetes de $100: «x»

⇒ La cantidad de billetes de $50 es «x + 4»

Planteando la ecuación:

100(x) + 50(x + 4) = 1700

Resolviendo la ecuación de primer grado:

150x = 1700 – 200

⇒ x = 10

∴ La cantidad de dinero en billetes de $100 = 100(10) = $1000

Ejercicio 04:

Resuelva la ecuación de primer grado de variable x:

Resolución:

Un problema de ecuaciones con fracciones donde notamos que en el primer y segundo miembro el denominador común es 2. Entonces multiplicamos ambos miembros por 2 para eliminarlo.

Tendríamos:

⇒ 2m² + x = 2m(m+1) – 5x

⇒ x + 5x = 2m² + 2m – 2m²

⇒ 6x = 2m ⇒ x = m/3

∴ Conjunto Solución (C.S) = {m/3}

Ejercicio 05:

Lo que tú y yo ganamos suman $400. Si tu ganaras $80 más y yo $80 menos, tendríamos la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tenemos cada uno?.

Resolución:

Planteamos el problema así:

• Yo gano: x
• Tú ganas: 400 – x

Por condición del problema:

(400 – x) + 80 = x – 80

Resolviendo la ecuación lineal:

560 = 2x

⇒ x = 280

Por lo tanto:

Yo tengo $280 y tú tienes $120

Nivel Intermedio

Ejercicio 07:

Determinar «a.b» sabiendo que la ecuación en «x»:

Tiene infinitas soluciones.

Resolución:

Resolviendo la ecuación lineal:

4(ax + 1) – b(x – 2) = 4b(x – 2)

⇒ 4ax + 4 – bx -2b = 4bx – 8b

x(4a – 5b) = -6b – 4

En esta forma de la ecuación, para que tenga infinita soluciones se debe cumplir necesariamente:

• -6b – 4 = 0   ⇒ b = 2/3
• 4a – 5b = 0   ⇒ a = 5b/4  ⇒ a = 5/6

Luego:

a.b = (2/3).(5/6) = 5/9

∴ a.b = 5/9

Ejercicio 08:

Si x₁, x₂ son las raíces de la ecuación de segundo grado:

3x² + 2x – 3 = 0

Calcular: M = (x₁ + 3)(x₂ + 3)

Resolución:

Piden: (x₁ + 3)(x₂ + 3), desarrollando:

⇒ M = x_1.x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9

Sea la ecuación cuadrática:

3x² + 2x – 3 = 0. 

De las propiedades:

x_1.x₂ = -3/3 = -1

x₁ + x₂  = -2/3

Reemplazando en M:

⇒ M = -1 + 3(-2/3) + 9

∴ M = 6

Ejercicio 09:

Calcular el menor valo de «n» en la siguiente ecuación cuadrática:

(n+1)x² – n²x – 10 = 0

Para que la suma de sus dos soluciones sea: 1/3

Resolución:

Sean: «a» y «b» las soluciones de la ecuación dada.

Entonces, aplicando propiedades tenemos:

• a + b = n²/(n + 1)   ……..(1)

Por condición del problema:

• a +  b = 1/2  ………(2)

Igualando (1) y (2):

n²/(n + 1) = 1/2

Resolviendo tenemos:

2n² – n – 1 = 0

Factorizando:

(2n + 1) (n – 1) = 0

Entonces: n = -1/2  ∨   n = 1

Están pidiendo el mayor valor de «n»;

∴ n = 1

Ejercicio 10:

Resuelva la ecuación cuadrática:

7x² – 2x – 1 = 0 

E indique la mayor solución.

Resolución:

En la ecuación dada no puede utilizarse ningún método de factorización, por lo que nos vemos obligados a utilizar la fórmula general.

Recordar la fórmula general:

ax² + bx + c = 0

En la ecuación:

7x² – 2x – 1 = 0

a = 7;    b = 2;   c = -1

Reemplazando en la fórmula general:

Observe que «x» tiene dos soluciones, nos piden el mayor que será:

∴ (1 + √2)/7

Ejercicio 12:

Si a y b son raíces de la ecuación cuadrática:

x² + 6x – 3 = 0 

Calcular el mayor valor de:  «a – b».

Resolución:

Por propiedad de las raíces de la ecuación de segundo grado:

a + b = -6 ;      ab = 3

Por productos notables, conocemos la identidad de Legendre:

(a+b)² – (a-b)² = 4ab

Reemplazando:

⇒ (-6) – (a-b)² = 4(3)

⇒ (a-b)² = 24

a-b = 2√6       ∨     a-b = -2√6

∴ Mayor valor de «a -b» = 2√6

Nivel Avanzado

Ejercicio 15:

Resolver la siguiente ecuación cúbica:

3x³ – 9x + 18  – 2x² = 0

Resolución:

Esta ecuación cúbica lo desarrollaremos por fáctorización, veamos:
Ordenamos:

3x³ – 2x²  – 9x + 18   = 0

Factorizamos por el método del fáctor cómun de agrupación de términos:

x² (x – 2) – 9(x -2) = 0

⇒ (x – 2)(x² – 9) = 0

⇒ (x – 2)(x – 3)(x + 3) = 0

Luego tenemos las raíces (soluciones):

x₁ = 2;      x₂ = 3;      x₃ = -3

∴ C.S = {-3; 2; 3}

Ejercicio 16:

Si «a» es una raíz de la ecuación:  x² + x = 1. Halle el valor de:

Resolución:

Si a es raíz, entonces satisface la ecuación:

a²  + a = 1

Con esta expresión vamos a trabajar, haciendo artificios matemáticos. ¡Esté atento!

⇒  a² + a + 1 = 2

⇒  (a-1)(a² + a + 1) = 2 (a -1)

⇒ a³ – 1 = 2a – 2

⇒  a³ = 2a – 1

⇒ a².a³ = a²(2a – 1)

⇒ a⁵ = 2a.a²- a²

⇒ a⁵ = a²(2a – 1)

De la ecuación: a² = 1 – a

Reemplazando:

⇒ a⁵ = (1 – a) (2a – 1)

Reduciendo y operando:

a⁵   + 8 = 5a – 3  + 8

⇒ a⁵  + 8 = 5a + 5 = 5(a +1)

⇒ a⁵   + 8 =  5(a +1) ……(ω)

Reemplazando (ω) en la expresión que nos piden:

∴ La expresión reducida será = 5

Ejercicio 17:

En una casa de apuestas, Ronald pierde $ 300 en la 1era apuesta, luego pierde $ 400, enseguida pierde la mitad de lo que le quedaba y por último pierde la mitad del resto, quedándose con $ 250. ¿Cuánto de dinero tenía al inicio?

Resolución:

Planteamos la resolución del problema mediante ecuaciones, veamos cómo se hace:

Sea: «x» la cantidad de dinero que tenía al inicio (lo que piden)

1era apuesta: pierde $300

⇒ Le queda = x – 300

2do apuesta: pierde $400

⇒ Le queda = (x – 300) – 400 = x – 700

3era apuesta: pierde la mitad de lo que le quedaba.

⇒ Le queda = (x -700) – (x – 700)/2 = (x – 700)/2

Última apuesta: pierde la mitad, quedándose con la mitad; es decir queda con:

Por dato, Ronald se queda con $250; es decir:

Resolviendo la ecuación:

x – 700 = 1000     ⇒ x = $1700

∴ Ronald tenía = $1700

Ejercicio 18:

Si a, b y c son las raíces de la ecuación cúbica:

x³ + (n+2)x² + (n² + 3)x + n³ + 2 = 0

¿Cuál es el valor de «n» para que: a² + b² + c² tenga el máximo valor?

Resolución:

Sea: M = a² + b² + c²; piden su máximo valor.

En la ecuación:

x³ + (n+2)x² + (n² + 3)x + (n³ + 2) = 0

Si: a, b y c son sus raíces, apliquemos propiedades:

• a +b + c = -(n – 2)
• ab + ac + bc = n² + 3

Por productos notables:

a² + b² + c² = (a + b + c)² – 2(ab + ac + bc)

⇒ M = (a + b + c)² – 2(ab + ac + bc)

⇒ M = [-(n – 2)]² – 2(n² + 3)

⇒ M = -n² + 4n – 2

Dando forma y buscando trinomio cuadrado perfecto en «n».

⇒ M = – 2 – (n² – 4n + 4)

⇒ M = – 2 – (n – 2)²

Analizando «M» notamos que su máximo valor será cuando:

(n – 2)² = 0

∴ n = 2

Ejercicio 19:

En una fiesta de dos salones, habían inicialmente 45 parejas. Una hora después se observó que la cuarta parte del número de parejas del primer salón habían pasado al segundo salón. Dos horas más tarde, del segundo salón habían pasado al primero la tercera parte de las que contenía inicialmente, resultando en ambos salones igual cantidad de parejas. ¿Cuántas parejas habían inicialmente en el segundo salón?

Resolución:

Sean:

x = # de parejas que habían en el primer salón

y = # de parejas que habían en el segundo salón

⇒ x + y = 45  …..(ω)

Una hora Después: x/4 se van al segundo salón, entonces:

El 1er salón se queda con: x – x/4 = 3x/4.

El 2do salón quedó con: y + x/4

Dos hora Después: y/3 se van del segundo al primero. Realizamos un esquema para ver cuanto quedan al final:

Por último, el problema indica que en esta parte de la fiesta ambos salones resultan con la misma cantidad de parejas; es decir:

Resolviendo:

y = 3x/2 …. (Φ)

Reemplazando (Φ) en (ω):

x + 3x/2 = 45

⇒ x = 18    ∧      y = 27

∴ Inicialmente habían en el segundo salón 27 parejas.

Ejercicio 20:

Si una persona tuviera «x» años menos, el tiempo que habría permanecido dormido seria la quinta parte del tiempo que habría permanecido despierto si tuviera «x» años más. Si en el transcurso de su vida dicha persona duerme 8 horas diarias. ¿Cuántos años lleva durmiendo?

¡Ponte a Prueba!